L’ensemble des nombres complexes est une extension de l’ensemble des nombres réels, permettant de résoudre des équations qui n’ont pas de solutions réelles. Un nombre complexe est de la forme z = a + ib , où a et b sont des nombres réels, et i est le nombre imaginaire pur défini par i² = -1 . L’ensemble des nombres complexes est noté $\mathbb{C}$ .

Le module d’un nombre complexe, z = a + ib, est noté |z| et correspond à la distance de z à l’origine dans le plan complexe : $\ |z| = \sqrt{a^2 + b^2}$ . L’argument d’un nombre complexe est l’angle que forme le segment reliant l’origine à z avec l’axe des réels positifs. Ces deux notions permettent de passer de la forme algébrique à la forme trigonométrique, où un nombre complexe s’écrit sous la forme : $\ z = |z|(\cos \theta + i \sin \theta)$ .

Les nombres complexes sont essentiels pour la résolution des équations polynomiales, car tout polynôme de degré n admet exactement n solutions (éventuellement complexes) dans $\mathbb{C}$ , selon le théorème fondamental de l’algèbre. Ils trouvent également des applications en physique, en ingénierie et dans de nombreuses branches des mathématiques.

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